勒让德 Adrien Legendre

勒让德（Adrien Legendre），法国科学家，法国数学家。他在勒让德多项式领域做出了杰出贡献，是国际学术界公认的权威学者。勒让德多项式。勒让德的研究工作涵盖勒让德多项式的多个重要方向，其创新性的理论和方法为该领域的发展奠定了坚实基础。他发表了大量高水平的学术论文和专著，其中许多已成为经典文献，被全球学者广泛引用和学习。主要学术成就包括：勒让德多项式。作为勒让德多项式领域的领军人物，勒让德积极推动国际学术交流与合作，培养了大批优秀的青年科研人才。他的学术成就和崇高品德赢得了世界各地科学家的广泛尊敬和赞誉，为推动人类科学文明的进步做出了不可磨灭的贡献。

主要贡献

勒让德在数学方面的贡献，首先表现在椭圆函数论，有许多理由足以说明他是椭圆函数论的奠基人。在他之前，C．麦克劳林(Maclaurin)和 J．R．达朗贝尔(d'Alembert)曾研究过可以用椭圆或双曲线的弧表示的积分。G．C．法尼亚诺(Fagnano)在1716年曾证明，对任意给定的椭圆或双曲线，可以用无穷多种方法指定两条弧，使得其差等于一个代数量。

他还证明过，伯努利双纽线(x+y)=a(x-y)的弧能够像圆弧那样被代数地加以乘、除。这是椭圆积分简单应用的第一个说明，这一积分被勒让德记作F(x)，他认为用它可以决定所有其他的积分。从法尼亚诺的研究出发，L．欧拉(Euler)着手处理更一般的椭圆积分，并得出了第一类和第二类椭圆积分的加法定理。1768年，拉格朗日把欧拉的发现纳入通常的分析程序。

1775年，J．兰登(Landen)又证明了双曲线的每一条弧能够用一个椭圆的两条弧来度量。

1786年，勒让德出版了他的关于椭圆弧的积分的著作。其中第一部分是在他知道兰登的发现之前就已写出的，他避免应用双曲线的弧，而采用作一个适当构造的椭圆弧的表的办法来代替。

他给出兰登定理的一个新的解释，并且用同一方法证明了每一个给定的椭圆是一个无限多的椭圆序列的一部分。求出两个任意选定的椭圆的周长，就可以求得所有其他椭圆的周长。有了这条定理，就有可能把一个给定椭圆的求长问题化成两个其他的和圆相差任意小的椭圆的求长问题。

不过，这一课题及一般形式的超椭圆函数理论，需要更系统的处理。这正是勒让德在他的“关于椭圆超越性的论文”(Mémoire sur les transcendantes elliptiques，1793)一文中所提供的。他提出对这一类型的所有函数应进行比较，将其区别归类，把每一个变成可能的最简形式，并利用最容易、最快速的近似法对其求值，进而作为一个整体从理论上建立一个算法系统。

勒让德后来的研究，从几个方面完成了这一理论。1809年，他发表了“各种不同定义的积分的研究”(Recherches sur diverses sortes d’intégrales difinies)一文，继续从事对欧拉积分(这一术语是勒让德给出的)，特别是对Г函数的研究。1811年，勒让德在《积分练习》(Exercices de calcul intégral) 一书中，进一步给出了三角表示理论，令

其中0≤c≤1，勒让德称c为函数的模。积分限从0到 ， 称为函数的幅角； 是模的补

最简单的超椭圆函数是第一类积分

第二类积分由长轴I和离心率c的椭圆弧表出，形式为

第三类积分为，其中η为参数。

每一个椭圆积分可被表示为这三种超越类型的一个组合。

设 和 是由下面微分方程联系的两个变量：

方程的积分为F( )+F( )=F(μ)，μ是任意常数，欧拉定理指出：

因此，μ可以用代数方法求出，使得F( )+F( )=F(μ)，从而F(μ)可以被一个任意常数(整数或有理数)相乘。经过这样的研究，勒让德对三种类型的积分中的每一种都导出了许多结果。

勒让德还进一步把第一类积分记为F(c， )，其中c为模， 为幅角。根据兰登定理，他建立了一种变换，后来称之为二次变换，即如果 ，且 ，那么 ，通过反复使用这种变换，勒让德建立了椭圆函数表，于1817年公开发表。

1826年，勒让德又出版了《椭圆函数论》(Traité des foncti-ons elliptiques)，在第二卷中列有9张这种表。

最后一张表是函数F和E的一般化数表。其中幅角从1°到60°，模θ(sinθ=c)的值在小于45° 时取10位小数，在45°至 90° 之间时，取9位小数。他曾写信给 C.G.J.雅可比(Jacobi)，说他在无任何外力帮助的情况下致力于如此冗长而乏味的工作，但却乐此不疲，并认为这一工作的重要性完全可以和 H.布里格斯(Briggs)的对数表媲美。

1827年，雅可比也开始研究椭圆函数。他写信把自己的和N．H．阿贝尔(Abel)的发现告诉给勒让德，面对年轻对手的挑战，勒让德的态度是非常热心和直率的。他在《椭圆函数论》第3卷的序言中赞扬了这位“柯尼斯堡的年轻几何学家”以及阿贝尔。后来又发表了《椭圆函数论》的3个附录，前两个主要介绍了雅可比的工作，也提到阿贝尔，其中包括椭圆函数和勒让德积分的反函数。椭圆函数

勒让德以其惯有的略嫌冗长的模式讨论了将椭圆函数推广到复数域和双周期，附录三主要讨论阿贝尔的工作和他的大定理。1832年3月4日，勒让德总结他的工作说：“我们仅接触到这一课题的表面，可以预言它将随着数学家的工作而日趋成熟，最终将构成超越函数分析中的一个最漂亮的部分。”

勒让德还追随拉格朗日研究过二次型，在某些方面得到了完善的结果。例如，他证明了每一个非8k+7型的奇数是三个平方数的和。在这一结果的基础上，A.L.柯西(Cauchy)在1812年针对多项式数的情形证明了费马定理。

勒让德对数论的主要贡献是提出二次剩余的互反律。这是18世纪数论中最富于首创精神的可能引出最多成果的发现。1785年，他用一个冗长而不完善的说明提出这一定律。1801年，高斯对勒让德的陈述进行了批评，并宣称他是第一个能够严格叙述这一命题的人。1808年，勒让德采用了这位年轻的批评者所给出的证明。他发明了记号(p/q)，令其等于1或-1，以表示p是q的二次剩余或二次非剩余。在这种记号下，二次互反律说，如果p和q是不同的奇素数，那么：(p/q)(q/p)=(-1)

1830年，他又把他认为是更好的雅可比的证明补充了进去。

作为一个非常熟练的计算工作者，勒让德提出了有价值的数表。他编列了二次型的二次和一次的因子以及费马方程x-Ay=±1的最小解。后一张表出版于1798年，并在1808年用一种更简略的删节本形式重印。

勒让德还是解析数论的先驱者。他在1798年提出了素数分布定律的初步形式，1808年又使其更加精确化，呈现为如下形式：如果y是小于素数分布定律

纳法发现这一定律的。1793年，高斯由直觉看出了素数的渐近分布定律。但是，第一个明确给出这一条非凡定律的，还是勒让德。

另一方面，勒让德早在1785年便说明了在每一个算术级数 ax+b （此处，a、b是互素的）之中，有无穷多个素数。他甚至详细说明过，在把 ∮(a) 个互素于a并小于a的值给予 b[∮(a)是欧拉指标数] 以后，这些素数几乎相等地分布在∮(a)个不同的级数中。

对数论研究开辟了一个十分广阔的园地之后，勒让德在1830年又试图阐述阿贝尔的关于方程代数解的概念。勒让德认为，他已令人信服地证明了对于高于四次的方程来说，求得一般的解是不可能的。他还对研究方程的数值解法表示过兴趣，特别是研究过根的分离和把它们展开成连分数。1808年，他提出了关于代数基本定理的证明，与 J.R.阿尔冈(Argand)在1806年给出的证明十分类似。

在他的《几何学原理》(Eléments de géométrie，1794)的附注4(发表于该书的第一版)中，勒让德利用连分数的算法建立了兰伯特定理(1761)：圆的周长和直径的比是一个无理数。他改进了这一结果，证明了这个比的平方也是一个无理数，并补充说：“很可能数π甚至不包含在代数无理数中，但是要严格说明这个命题似乎是非常困难的。”