赫尔曼·格拉斯曼 Hermann Grassmann

基本信息

出生地：什切青

出生日期：1809年4月15日

逝世日期：1877年9月26日

职业：物理学家、数学家、语言学家、出版家

人物简介

赫尔曼·格拉斯曼（Hermann Günther Graßmann，1809年4月15日－1877年9月26日），出生于什切青，德国物理学家、数学家、语言学家、新人道主义者和出版家。1827-1830年在柏林大学攻读古典语言与哲学，后自学数学与物理学。1834年起先后在柏林技校和什切青中学任教数学、物理等学科。1844年发表《扩展研究》提出向量空间理论和外代数概念，引入几何积（外积）与线性积（点积），奠定高维几何代数基础。1862年修订扩展该理论，但因为太超前并未获得同时代学术界重视。其成果后由汉克尔、克莱因等人引介，发展为微分几何与量子力学的数学工具。同期从事梵语文献翻译，发现印欧语音变规律（格拉斯曼定律），1876年获蒂宾根大学荣誉学位。

数学家生涯

格拉斯曼参加过的诸多考试中的一次要求他递交关于潮汐的一篇文章。1840年，他写了这样一篇，采用了拉普拉斯的《天体力学》和拉格朗日的《解析力学》中的基本理论，使用了他从1832年就开始琢磨的向量方法表述。这篇文章最初发表于1894-1911年的《合集》中，它包含了已知的最早的关于现在称为线性代数的理论以及向量空间的概念。他在他的《A1》和《A2》中继续发展了这些理论。

1844年，格拉斯曼发表了他的杰作《线性外代数—数学的新分支》(Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik)，之后用A1代表，通常被称为Ausdehnungslehre，译为"扩张研究"或"扩展了幅度的理论"。因为A1给出了所有数学的一个新基础，该著作首先讨论了哲学本质的广泛的定义。然后格拉斯曼证明一旦几何被置入他所创立的代数形式中，3就不再是空间维数的有特殊地位的数字，可能成为维数的数字是无限的。

Fearnley-Sander (1979)将格拉斯曼的线性代数的基础表述为：

“线性空间的定义……在1920年左右变得常见，其时，赫尔曼·外尔和其他人发表了形式化的定义。事实上，这样一个定义皮亚诺30年前就给出过了，而他熟知格拉斯曼的数学作品。格拉斯曼没有写下形式化的定义……那时还没有合适的数学语言……但无疑他已经有了同样的概念。”

“从一些'单元'e1, e2, e3, ...开始，他实际上定义了它们所生成的自由线性空间；也就是说，他考虑了形式线性组合a1e1 + a2e2 + a3e3 + ...，其中aj是实数，并“以现在常用的方式”定义加法和数乘，并为这些操作定义了线性空间的属性。... 然后他发展了线性无关的理论，其方式和现代线性代数课本中的表述惊人地一致。他还定义了子空间，无关性，生成空间，维数，子空间的并和交，以及元素到子空间的投影。”

“……很少有人象格拉斯曼那样独立地创造了一个全新的课题。”

顺着格拉斯曼父亲的一个思路，A1还定义了外积，也称为"组合积"（德语为：äußeres Produkt或者kombinatorisches Produkt），这样的代数现在称为外代数。（必须注意在格拉斯曼的年代，唯一的公理化的理论是欧氏几何，而且抽象代数的一般概念还没有被定义）。1878年，William Kingdon Clifford将这个外代数的概念加入哈密尔顿的四元数中，他将格拉斯曼的epep = 0的规则换成epep = 1即可。

A1是革命性的著述，因为太超前而不被赏识。格拉斯曼将它作为博士论文呈递，但莫比乌斯说他无法评价它，并将它转呈库默尔，后者没有仔细阅读就否决了它。在接下来的10年间，格拉斯曼写了各种应用他的扩张理论的著述，包括1845年的《电动力学新理论》和一些关于代数曲线和曲面的论文，他借此希望有人因为这些应用而重视他的理论。

1846年，莫比乌斯邀请格拉斯曼参加解决莱布尼茨最早给出的一个问题的竞赛：推导不含坐标和度量属性的几何微积分（莱布尼茨称其为analysis situs）。格拉斯曼的《附带几何分析和莱布尼茨特征》（Die Geometrische Analyse geknüpft und die von Leibniz Characteristik）赢得了比赛。但是有一点要指出，格拉斯曼的论文是唯一参赛作品。而且，莫比乌斯作为评委之一批评了格拉斯曼引入抽象概念而不给读者任何为何这些概念有用的直观印象。

1853年，格拉斯曼发表了颜色如何混合的一个理论；该理论和它的三个格拉斯曼色彩定律还在被教授。格拉斯曼在这个课题上的论著和亥姆霍兹的不一致。格拉斯曼也在晶体学、电磁学和力学上都有著述。

格拉斯曼于1861年作出了算数的第一个公理化表示，其中自由使用了归纳原理。皮亚诺和他的追随者从1890年开始自由地引用了该论文。奇怪的是，格拉斯曼1861年的原著从未被译成英文。

1862年，格拉斯曼发表了完全重写的A1第二版，希望获得他的扩张理论的迟到的赞誉，并包含了他的线性代数的定义表述。其成果Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet，后面记为A2，并不比A1获得更多的认同，虽然A2的表述方式预示了二十世纪课本的形式。

Hermann Hankel是唯一在他在世时赏识他的数学家，他的1867年的论文（Theorie der complexen Zahlensysteme）有助于格拉斯曼的思想的传播。该文“...发展了格拉斯曼的代数和哈密尔顿的四元数。Hankel是第一个意识到格拉斯曼长期被忽略的论文的重要性的人……” (摘自Hankel条目，科学传记字典. 纽约: 1970-1990)

格拉斯曼的数学方法非常缓慢地得到采用，但它们直接影响了克莱因和埃利·嘉当。阿尔弗雷德·诺思·怀特黑德的第一本专论，泛代数（Universal Algebra） (1898年)，包含了英语文献中对扩张理论和外代数的第一次系统表述。扩张理论被用于微分形式的研究以及微分形式在分析和几何方面的应用中。微分几何也使用了外代数。

生平

赫尔曼·格拉斯曼是Justus·格拉斯曼的12个小孩中的第3个，Justus是一个在什切青高中教授数学和物理的牧师，赫尔曼在那里接受教育。他经常和他的兄弟罗伯特合作。

这样的开端在格拉斯曼的事业的影响深远，因为他的数学工作在他一生中得不到承认。格拉斯曼一直是个不起眼的学生，直到他在普鲁士大学的入学考试中获得了高分。从1827年开始，他在柏林大学学习神学，同时修习了古典语言、哲学和文学方面的课程；他似乎未曾学习数学或者物理课程。

虽然缺乏数学方面的大学课程训练，数学却是他在1830年在柏林完成学业并返回什切青时最感兴趣的领域。经过一年准备，他参加了在高中数学教师的资格考试，但只取得了教低级别的资格。1832年春，他成为什切青体育馆的一名助理。大约在那个时候，他做出了他的第一批重大数学发现，那些导致他在1844年A1中给出的重要思想。

1834年，格拉斯曼开始在柏林的Gewerbeschule教授数学。一年后，他返回什切青在一所新学校Otto中学教授数学、物理、德语、拉丁文和宗教。范围的广泛也表明他又只取得了低年级的教师资格。在接下来的四年中，格拉斯曼通过了使得他能在中学所有级别教授数学、物理、化学和矿石学的考试。

格拉斯曼已经能做出新颖的数学研究，但是对自己只能在中学教书的处境，深感怀才不遇。不过他确实涨了级别，虽然是在没有离开什切青的情况下。1847年，他成为"Oberlehrer"。1852年，他得到了他父亲在什切青高中的职位，因而获得了教授的头衔。1847年，他向普鲁士教育部申请大学教职，为此教育部向库默尔征询了他对格拉斯曼的看法。库默尔回信说格拉斯曼1846年的获奖文章（参看下文）包含了“……在有缺陷的形式中表达的值得赞赏的材料。”库默尔的报告终结了格拉斯曼寻求大学教职的所有机会。这样的场景重复出现，在那个年代的杰出数学家都无法欣赏他的数学研究的真正价值。